Mis on ilmas kõige suurem? Astrofüüsik ütleks, et eks seesama ilm ise. Maa ja ilm, suurim, mida suudame näha, ette kujutada ja mõista loota. Kuidas selle maa ja ilma suurust iseloomustada? Pole midagi parata, appi tuleb võtta meie endi välja mõeldud kaval vahend. Matemaatika. Arvud.

Kõige-kõige suurem libiseb käest

Kes on kõige suurem puu? Ranniksekvoia. Ja kui suur see on? 113 meetri kõrgune. Näete, kohe on käest võtta sobilik arv, 113 on täiesti olemas. Kuid on ju veel suuremaid arve. Puust suuremad on mäed, mägedest suuremad on jõed, jõgedest suuremad on mereavarused. Ja kõigi nende jaoks on võtta arvud, mis mäed, jõed ja mered omavahel suhtesse panevad.

Arvud on võtta suuremategi asjade jaoks. Planeedid. Tähed. Tähesüsteemid. Galaktikate süsteemid. Ikka leiame kusagilt nii suure arvu, mis asja iseloomustaks, selle täpselt meie pööninguriiulile asetaks, nii et vasakule jääb midagi pisemat, paremale jälle midagi suuremat.

Kuid mis on kõige suurem arv, selline, millest suuremat ei olegi? Lõputult rumal küsimus – iga vähegi arvumaailma saladusi õppinu teab, et säherdust pole olemas. Igale naturaalarvule võib liita veel ühe naturaalarvu ja saada suurema arvu kui algne. Nii et arve on lõputu hulk. Pole olemas sellist asja nagu suurim põhiarv – nii tõestas Moritz Benedikt Cantor. Hästi. Kuid mis see tähendab, et arvuhulk on lõputu hulk? Kas näiteks paarisarve on kaks korda vähem kui täisarve? Ühelt poolt peaks ju nõnda olema, teiselt poolt jälle saame asetada iga paarisarvu vastavusse täisarvuga, ja näeme, et lõpmatusse suunduvad mõlemad read. Nii et kõigi täisarvude lõpmatus on sama võimas kui paarisarvude lõpmatus. Vähe sellest, ratsionaalarve, s.t kõiki täisarve pluss kõikvõimalikke murdarve, on samuti lõpmatu hulk, ja seegi lõpmatus pole võimsam kui kõigi täisarvude hulga lõpmatus. Vastupidise näite pakub kui tahes pikuke lõiguke. Näiteks arvude 1 ja 2 vahele tõmmatud lõigu kõigi punktide hulk on võimsam kui kogu naturaalarvude, s.t positiivsete täisarvude hulk. Reaalarvude hulgal on rohkem liikmeid kui naturaalarvude hulgal.

Nii et küsimus, kui suur on ikkagi suurim arv, on täiesti õigustatud. Kui seostame selle küsimuse meile teada oleva ning jälgitava maa ja ilmaga. Universumiga. Asja iva on selles, et võime ju välja mõtelda mis tahes arve, kuid kas neil on ka mingit katet olemasolevas kõiksuses?

Pähe mahub Universum ja veel midagi

Meeter on pikkuse mõõtmiseks mugav ja arusaadav ühik, kuid ilmaruumi mõõtmiseks see ei sobi. Prantslased mõtlesid meetri välja oma revolutsiooni käigus, kui vastaliste giljotineerimisest aega üle jäi, aga Universum peade lendamisest ei hooli. Kõiksust on mõistlik mõõta loomulikumate, looduse enda poolt ette antud mõõtühikutega. Nõnda tegi juba Paul Dirac 1937. aastal. Ta tõi välja kolm väga suurt arvu.

Nähtava Universumi suurus võrreldes elektroni raadiusega – 10 astmes 40.

Prootoni ja elektroni vahelise elektromagnetilise jõu suhe gravitatsioonijõudu – 10 astmes 40.

Prootonite arv nähtavas Universumis – 10 astmes 80.

Kui me rehkendame nähtava Universumi mõju Plancki mõjukvandi ühikutes, siis saame nii suure arvu kui 10 astmes 120.

Suurematest arvudest pole mõtet rääkida, sest neil puudub igasugune reaalne sisu. Need on kui väljamõeldised. Ütles Dirac: “Mistahes kaks väga suurt dimensioonitut arvu, mis looduses esinevad, on ühendatud lihtsa matemaatilise suhtega, milles kordajad on lähedased ühega.” Sellega vihjas ta, et tema arust pole suurimate arvude omavaheline suhe üldsegi mitte juhuslik.

Kuidas on aga võimalik, et inimene suudab välja mõelda suuremaid arve, kui kõiksus võimaldab? Põhjust otsigem inimese ajus! Seal on 10 miljardit neuronit, iga neuron on aksonite-nimeliste juhtmete kaudu ühendatud umbes tuhande teisega. Need ühendused mängivadki otsustavat rolli mõtete ja mälestuste tekkel. Niisiis, tuleb kõikvõimalikud neuronite vahel tekkivad ühendused kokku lugeda. Mike Holderness tegi seda (New Scientist, 16. juuni 2001) ja sai ei rohkem ega vähem kui 10 astmes 70000000000000 ühendust.

Nii et meie aju on põhimõtteliselt suuteline mõtlema 10 astmes 70000000000000 mõtet. Selle kõrval kahvatub aatomite arv Universumis – neid on vaid 10 astmes 80. Mõtlemapanev tõsiasi mõtetelugejale.

Miks inimaju nii hiiglaslikku arvu esindab, et selle iseloomustamiseks pole võimalik leida võrdlusi, analooge ega ka õigustusi? See lihtsalt on nõnda. Cantor tõestas seda oma vääramatu loogikaga juba üle 100 aasta tagasi: maailmas olevate asjade koguarv ei ole mingil tingimusel suurim arv. Maa peal ja taevas on vähem asju kui meie filosoofilistes unelmates. Selle peale kuulutas Russell veel paarikümne aasta eest: arvude maailm on järelikult illusioon. Olgu siis nõnda. Kuid see illusioon on olnud kestev.